不用三角函数求出∠BAC的度数

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趣题：不用三角函数求出∠BAC的度数

    今天看到了一道很有趣的几何题。如图，四边形 ABCD 中，连接对角线 AC 、 BD ，若 ∠ABD = 40° ， ∠ADB = 80° ， ∠CBD = 70° ， ∠CDB = 50° ，求 ∠BAC 的度数。

      

    这道题看上去似乎非常简单，但稍作尝试你就会发现，仅仅是在这几个角度之间来回倒腾，是没法求出 ∠BAC 的度数的。听说过 Langley 问题（就是那个臭名昭著的 20-80-80 三角形）的人就会知道，这种类型的题目往往会非常非常地复杂。据说这是 1989 – 1990 年加拿大亚伯达省中学数学竞赛中的一道题目，当时只有一个人做对，并且解答过程用到了非常繁琐的三角函数运算。然而，这道题实际上有一个非常漂亮的秒杀方法，完全不需要使用三角函数。你能想到吗？

      

    答案：把注意力集中在三角形 ABD 上。容易看出， ∠A = 180° – 40° – 80° = 60° 。另外， CB 平分 ∠B 的外角， CD 平分 ∠D 的外角，因而 C 就是三角形 ABD 的一个旁心。这说明， CA 也将平分 ∠A 。因此， ∠BAC = 60° / 2 = 30° 。

参考资料： Andy Liu, “A Better Angle From Outside”, Mathematical Horizons, November 1997