數學之美：Marden定理
如果叫我說出一個我最喜歡的數學定理，之前我可能會說Monge 定理；不過現在，我可能會說Marden 定理了：
設p(z)是一個複數域上的三次多項式， z 1、 z 2、 z 3是p(z)的三個根，它們在復平面上不共線。那麼，在這個複平面上存在唯一的橢圓，使得它與三角形z 1 z 2 z 3的各邊都相切，並且都切於各邊的中點處。並且，這個橢圓的兩個焦點是p'(z)的兩根。
讀完這個結論以後，你一定會被數學之美深深地打動。這個結論出現在了Morris Marden於1945年發表的一篇論文裡，因而被Dan Kalman稱為Marden定理。Marden本人則認為，這個結論最早是由Jörg Siebeck在1864年發現並證明的。下面我們簡單地來證明一下這個結論，證明過程出自Dan Kalman在2008年發表的獲獎論文An Elementary Proof of Marden's Theorem。
其實，結論的前半部分並不奇怪，對於任意一個三角形，內切於各邊中點的橢圓本來就是唯一的。這是很容易證明的，其中一種證明方法是，通過線性變換把這個三角形變形成一個等邊三角形，那麼內切於各邊中點的橢圓現在仍然是內切於各邊中點的橢圓，然而在一個等邊三角形中，內切於各邊中點的橢圓只有一個，就是這個等邊三角形的內切圓。關於這一點，詳細的證明可以參見這裡。
因此， Marden 定理的核心就是：為什麼這個橢圓的兩個焦點就是p'(z) 的兩根。
首先，讓我們來說明，為了證明Marden定理，我們可以把三角形z 1 z 2 z 3放置在復平面上的任意一個對我們有利的位置。因為，如果對於復平面上的某一個三角形來說命題是成立的，那麼任意地對這個三角形進行縮放、旋轉、平移，命題仍然是成立的。為什麼？這是因為，對三角形的縮放、旋轉、平移，說白了就是對三角形中的各個點進行變換操作M(z) = αz + β ，其中α和β是兩個固定的複數常數，並且α ≠ 0 。讓z與α相乘的結果就是對z進行縮放和旋轉，而β則表示在此之後平移量的大小。假設我們的命題對三角形z 1 z 2 z 3成立，對整個複平面進行上述變換後，三角形的三個頂點就分別移到了M(z 1 ) 、 M(z 2 ) 、 M(z 3 ) 。同時，三角形的內切橢圓以及橢圓的兩個焦點也都被順帶著移動了過去，內切橢圓還是內切橢圓，橢圓的焦點也還是橢圓的焦點。另外，原來的多項式是p(x) = (z – z 1 )(z – z 2 )(z – z 3 ) ，變換之後，新的多項式p M (x)就變成了(z – M( z 1 ))(z – M(z2 ))(z – M(z 3 )) 。假設原橢圓的兩個焦點分別是f 1和f 2，我們已經知道了它們正好是p'(z)的兩根。我們想要確認的就是，新橢圓的兩個焦點M(f 1)和M(f 2 )正好就是p M '(z)的兩個根。
把p M (z)中的z全部用M(z)代換，得到：
p M (M(z)) = (M(z) – M(z 1 ))(M(z) – M(z 2 ))(M(z) – M(z 3 ))
注意到M(z) – M(z 1 )就等於α(z – z 1 ) （因為β被抵消了），同理，上式的後面兩個因式也分別等於α(z – z 2 )和α(z – z 3 ) 。於是，整個上式化簡為：
p M (M(z)) = α 3 (z – z 1 )(z – z 2 )(z – z 3 )
即：
p M (M(z)) = α 3 · p(z)
現在，在等式兩邊同時取導數（注意到M'(z) = α ），於是得到：
α · p M '(M(z)) = α 3 · p'(z)
也就是：
p M '(M(z)) = α 2 · p'(z)
這說明，如果f 1是p'(z)的根，那麼M(f 1 )也將是p M '(z)的根；類似地，如果f 2是p'(z)的根，那麼M (f 2 )也將是p M '(z)的根。這正是我們剛才想要說明的事情。
為了證明Marden定理，我們還有一個準備工作要做。讓我們來證明下面這個引理：如圖， F 1、 F 2是給定橢圓的兩個焦點，過橢圓外的一點A向橢圓作兩條切線，切點分別為G 1和G 2，則有∠F 1 AG 1 = ∠F 2 AG 2。其實，這個引理包含了兩種不同的情況，如果把上面的G 1和G 2兩個點反過來標，我們將會得到另外一種情況。不過，如果我們證明了在第一種情況下結論始終成立，第二種情況也就自動地獲證了。因此，我們可以直接假設G 1和G 2的標法就如上圖所示。
證明這個引理需要用到與橢圓有關的一個非常經典的結論：從其中一個焦點出發的光線，射向橢圓內壁的任意一個位置，反射光線總會經過這個橢圓的另外一個焦點。換句話說，在上圖當中，過橢圓上的點T作切線，則∠1將會等於∠2 。你可以在這裡看到與橢圓的這個性質有關的更多討論。
現在，沿著切線AG 1將F 1翻折到H 1，那麼H 1、 G 1、 F 2將會共線。類似地，沿著切線AG 2將F 2翻折到H 2，那麼H 2、 G 2、 F 1也將會共線。為了證明∠F 1 AG 1 = ∠F 2 AG 2，我們只需要證明∠F 1 AH 1 = ∠F 2 AH 2即可。
由於H 1 F 2 = H 1 G 1 + G 1 F 2 = F 1 G 1 + G 1 F 2 = F 1 G 2 + G 2 F 2 = F 1 G 2 + G 2 H 2 = F 1 H 2，另外由剛才的翻折可知F 1 A = H 1 A ，並且F 2 A = H 2 A ，於是三角形AH 1 F 2和三角形AF 1 H2全等。這告訴我們∠H 1 AF 2 = ∠F 1 AH 2，同時減去一個公共部分後即得∠F 1 AH 1 = ∠F 2 AH 2，引理也就證到了。
現在，我們已經準備好證明Marden定理了。我們首先說明，以p'(z)的兩根為焦點的橢圓，如果經過三角形z 1 z 2 z 3某條邊上的中點，則它一定會與這條邊相切。為此，我們把三角形的三個頂點擺放到復平面上的-1 、 1和w = a + bi三個位置，其中b > 0 ，於是p(z) = (z – 1)(z + 1)(z – w) = z 3 – w · z 2 – z + w 。對p(z)求導後得p'(z) = 3 · z 2 – 2 · w · z – 1 。
假設p'(z)的兩根是f 1和f 2，則兩根之和f 1 + f 2 = 2 · w / 3 ，兩根之積f 1 · f 2 = – 1 / 3 。前一個式子說明了f 1和f 2當中至少有一個在x軸上方，而在後一個式子中， f 1 · f 2居然沒有虛數部分，這就說明了f 1和f 2其實都在x軸上方，並且θ 1 + θ 2 = 180° 。因而，如果以f 1和f 2為焦點，作一個過原點0的橢圓，則x軸就是一條經過該點的直線，它滿足∠1 = ∠2 ，這表明x軸就是橢圓在該點處的切線。而x軸其實就是三角形的底邊，原點0正是三角形底邊的中點！
由於以同一對點為焦點只能作出一個與給定直線相切的橢圓，因而這就順便說明了，以p'(z)的兩根為焦點的橢圓，如果與三角形z 1 z 2 z 3的某條邊相切，則它一定會與這條邊切於中點處。
最後我們來說明，以p'(z)的兩根為焦點的橢圓，如果與三角形z 1 z 2 z 3的其中一條邊相切了，則它一定會與三角形的三條邊都相切。由剛才的推論可知，所有的切點都將會是中點， Marden定理就證到了。這一次，讓我們把三角形的三個頂點放在0 、 1 、 w = a + bi三個位置，其中b > 0 。稍後我們將會看到，以p'(z)的兩根為焦點並且切於底邊的橢圓也會與0w相切。由對稱性，它一定也會和第三條邊相切。
取p(z) = z(z – 1)(z – w) = z 3 – (1 + w) · z 2 + w · z 。求導得： p'(z) = 3 · z 2 – 2 · (1 + w) · z + w 。
假設p'(z)的兩根是f 1和f 2。剛才我們已經知道了， f 1和f 2一定都在x軸的上方。不過這一次，兩根之積f 1 · f 2等於w / 3 。這告訴了我們什麼？這告訴了我們， θ 1 + θ 2 = θ ，換句話說， ∠1 = ∠2 ！假設以f 1和f 2為焦點作了一個橢圓， x軸正好是一條切線，那麼根據前面我們證過的那個結論，經過原點的另一條切線將會滿足∠1 = ∠2 ，這說明它與0w這條線重合。因而， 0w就是這另外一條切線。這就完成了Marden定理的最後一環。
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