摘自:http://www.matrix67.com/blog/archives/5515
怎樣把一個鈍角三角形分成若干個銳角三角形
這是我最喜歡的幾何謎題之一：你能否在紙上畫一個鈍角三角形，然後把它分割成若干個銳角三角形？令人難以置信的是，這竟然是可以辦到的！繼續看下去之前，大家不妨先自己想一會兒。 
每次我在課堂上提出這個問題的時候，學生們總會瘋狂而盲目地進行嘗試。根據我的觀察，絕大多數人都會先畫一個不那麼鈍的鈍角三角形（其實這本質上並不會簡化我們的問題），然後作出一系列類似於圖1 的嘗試，但最後都以失敗告終。此時我往往會反復強調：要有方法啊，要有方法！首先，想必很多人已經註意到了，我們必須在鈍角里引出一條線（如圖2 所示），這樣才能把鈍角給消除掉。接下來，則是很少有人意識到的一點：我們不能讓這條線一直延伸到對邊，否則原三角形將會被分成一個銳角三角形和一個鈍角三角形（或者兩個直角三角形），這並不能解決根本問題。也就是說，這條線在到達對邊前就必須得分岔。最後一個關鍵的問題就是，分成幾岔？顯然，分成三岔（如圖3 所示）是不夠的，因為這樣只能把一個周角分成四份，它們不可能都是銳角。為了讓所有的角都是銳角，我們至少要讓這條線分成四岔（如圖4 所示）。最後，再把一些沒有連起來的點連起來，我們就得到一個像模像樣的答案了（如圖5 所示）。
有的讀者或許會說，等等，等等，你怎麼敢肯定，圖5 中的每個小三角形都是銳角三角形呢？其實，我也不敢肯定。不過，我並沒有說圖5 就是最終的答案。為了證明確實有一個鈍角三角形能被分成若干個銳角三角形，我們需要給出一個確鑿的、能供他人進行驗證的例子。圖5 並不是一個確鑿的例子，但它給我們提供了構造這種例子的思路，或者更貼切地說，構造這種例子的模板。借助這個模板，我們很容易得到下面這種構造方案。
如圖，首先，畫一個正五邊形ADEFG 。然後，找出它的中心O ，將它分別與A 、 D 、 E 、 F 、 G 相連。最後，延長AD 和FE 並交於點B ，延長AG 和EF 並交於點C 。那麼，整個大三角形ABC 將會成為一個頂角為108° 的等腰三角形。這就是一個絕對讓人信服的例子，我們能精確地算出這裡面的每個小三角形的每個內角的度數，從而說明每個小三角形的確都是銳角三角形。
那麼，能否把任意一個鈍角三角形都分割成若干個銳角三角形呢？這下子，問題就變得複雜得多了。為了給出一個肯定的答案，我們必須想出一種能夠適用於所有鈍角三角形的通用分割方案，並且證明由此產生的小三角形確實都是銳角三角形。這個有名的問題最早出現在1960 年3 月的The American Mathematical Monthly 上，同年11 月，美國的一位中學數學老師Wallace Manheimer 給出了下面這個解答。
如圖，假設△ABC 中， ∠BAC 是鈍角。作出△ABC 的內心I 以及內切圓，將BI 、 CI 與圓的交點分別記作M 、 N 。過點M 作圓的切線，分別與AB 、 BC 交於D 、 E ；過點N 作圓的切線，分別與AC 、 BC 交於G 、 F 。最後，把D 、 E 、 F 、 G 都和內心I 相連，我們就把整個大三角形分成了7 個小三角形。
1961年，美國數學家Verner Hoggatt Jr.在The American Mathematical Monthly上發表了一篇論文，給出了一個更出人意料的結論：不但任意一個鈍角三角形都能被分割成若干個銳角三角形，而且任意一個鈍角三角形都能被分割成若干個等腰銳角三角形（即使這個鈍角三角形本身不是等腰的）！讓我們來看一看他是怎麼做到的。
如圖，仍然假設△ABC中， ∠BAC是鈍角。還是作出△ABC的內心I ，還是以I為圓心，不過這一次，讓我們以IA為半徑作圓。這個圓一定會和△ABC交於另外四個點，不妨依次記作D 、 E 、 F 、 G （注意，這四個交點為什麼一定存在，這是需要嚴格說明的，不過這裡我們暫且略去） 。顯然， IA = ID = IE = IF = IG ，因而圓裡的五個小三角形都是等腰三角形。過I作三角形三邊的垂線段IH 1、 IH 2、 IH 3，由於內心I到三角形三邊的距離都相等，因此IH 1 = IH 2= IH 3。那麼， △IAD 、 △IAG 、 △IEF就成為了這麼一組等腰三角形，它們擁有相同的腰長，並且底邊上的高也都相等。由此可以推出，它們是一組全等三角形。另外，容易證明△BIH 1和△BIH 3全等，於是BH 1 = BH 3；同時， EH 1也是等於DH 3的，因而BE是等於BD的，可見△BDE是一個以B為頂點的等腰三角形。根據同樣的道理， △CFG也是一個以C為頂點的等腰三角形。由此可知，圖中的所有小三角形都是等腰三角形。
不過，為什麼每個小三角形都是銳角三角形呢？別忘了，等腰三角形的兩個底角一定都是銳角，因此，我們只需要說明每個小三角形的頂角也都是銳角就行了。∠B 和∠C 都是銳角，因而△BDE 和△CFG 都是銳角三角形了。不難算出， ∠AID 和∠AIG 都等於180° – ∠BAC ，因而△IAD 和△IAG 也都是銳角三角形了。△IEF 和它倆全等，自然也是一個銳角三角形。那麼， △IDE 和△IFG 呢？仔細算一算你會發現， ∠DIE = ∠BAC – ∠B ， ∠FIG = ∠BAC – ∠C ，我們不能保證它們都是銳角。因此，最終我們只得到了一個暫時還不太完美的結果：如果三角形△ABC 中， ∠A 是鈍角，並且∠A – ∠B 和∠A – ∠C 都小於90°，那麼我們就可以把它分割成7 個等腰銳角三角形。
如果∠A – ∠B 和∠A – ∠C 當中至少有一個大於等於90° ，分割方案就會失效，這時又該怎麼辦呢？Verner Hoggatt Jr. 想到了極其聰明的一招。如圖，仍然假設∠BAC 是鈍角。剩下的兩個角∠B 和∠C 都是銳角。不妨假設其中∠B ≤ ∠C 。我們先在BC 上截取BD ，使得BD = BA （由於大角對大邊， BC > BA ，因此這是一定能辦到的）。△BAD 便成了一個以B 為頂點的等腰三角形。由於頂角∠B 是銳角，因而△BAD 是銳角三角形。有人或許會說，剛才不是說過，這樣不能解決根本問題嗎？△DAC 仍然是一個鈍角三角形呀？不過，這次就不一樣了： △DAC 將會滿足， ∠1 – ∠2 和∠1 – ∠3 都小於90° ！這是因為：
∠1 – ∠2 = (180° – ∠4) – ∠2 = (180° – ∠5) – ∠2 = 180° – (∠5 + ∠2) = 180° – ∠BAC < 90°
並且由∠B ≤ ∠C 可知：
∠1 – ∠3 ≤ ∠1 – ∠B = (180° – ∠4) – ∠B = 180° – (∠4 + ∠B) = ∠5 < 90°
套用剛才的分割方案，我們就可以把△DAC 分成7 個等腰銳角三角形，從而把整個三角形△ABC 分成8 個等腰銳角三角形了。到此為止， Verner Hoggatt Jr. 就完整地證明了，任意一個鈍角三角形都可以被分成最多8 個等腰銳角三角形。
從最初的問題出發，我們還可以提出很多其他的擴展問題。比方說，一個正方形最少能被分成多少個銳角三角形？數學趣題大師Martin Gardner 曾經考慮過這個問題。他“想了好幾天，一度以為分成9 個是最少的，然後就突然想到了一種分成8 個的方法”，如上圖所示。他覺得8 個銳角三角形應該是最少的了，但卻不能證明這一點。隨後，數學圈子裡出現了好幾個嚴密程度不同的證明。值得一提的是，這個問題還曾經作為一道題目，出現在了1967 年的IMO 候選題裡。
同樣地，我們也可以問，一個正方形最少能被分成多少個等腰的銳角三角形？我們可以先像上圖那樣把正方形分成四個等腰三角形。其中三個等腰三角形已經是銳角三角形了，利用Verner Hoggatt Jr. 的方法則可以把最下面那個鈍角三角形分成8 個等腰銳角三角形，於是最終把正方形分成了11 個等腰銳角三角形。然而，注意到最下面那個鈍角三角形其實本來就是等腰的，這對於我們來說非常有利；或許把它分成等腰銳角三角形時，分成8 個並不是必需的。事實上，利用下圖所示的方法，我們可以把它分成7 個等腰銳角三角形，因而最終把正方形分成了10 個等腰銳角三角形。不過， 10 個究竟是不是最少的，這似乎還有待進一步探討。
類似地，對於任意矩形，或者任意凸四邊形，或者任意四邊形，或者任意n邊形來說，如何把它們分成盡可能少的銳角三角形，或者把它們分成盡可能少的等腰銳角三角形，這些問題都還有待繼續研究。在計算機圖形處理中，我們往往需要對圖形進行三角剖分；如果所有三角形都是銳角三角形的話，這會給我們帶來很多有用的性質。因此，直到現在，人們仍然有足夠的動機和熱情去研究圖形的銳角三角形剖分。關於最近幾年這方面的一些進展以及仍然有待解決的問題，可以參見Carol Zamfirescu的這篇論文：
看到這個除了驚艷外
跟同事分享
同事說這就是鴿攏的應用
我想到的是
我做出這七個三角形
請他拼出鈍角三角形
會困難嗎?
會唯一嗎?
越想越開心，
經過的學生問我
一大早再開心什麼?
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請他拼出鈍角三角形
會困難嗎?
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